Monte-Carlo-Simulation

1 Zusammenfassung Unter Risikoquantifizierung versteht man die quantitative Beschreibung eines Risikos und – als nächsten Schritt – die Ableitung eines Risikomaßes (einer Kennzahl), die Risiken ver-gleichbar macht. Grundsätzlich sollte ein Risiko zunächst durch eine geeignete (mathematische) Verteilungs-funktion beschrieben werden. Häufig werden Risiken dabei durch Eintrittswahrscheinlichkeit und Schadenshöhe beschreibbar was einer sog. Binomialverteilung (digitale Verteilung) ent-spricht. Manche Risiken, wie Abweichung bei Instandhaltungskosten oder Zinsaufwendun-gen, die mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit verschiedene Höhen erreichen können, werden dagegen durch andere Verteilungsfunktionen (z. B. eine Normalverteilung mit Erwar-tungswert und Standardabweichung) beschrieben. Die wichtigsten Verteilungsfunktionen im Rahmen des praktischen Risikomanagements sind die Binomialverteilung, Normalverteilung und Dreiecksverteilung (Albrecht / Maurer, 2005 und Gleißner, 2011).

2 Qualifizierung von Risiken durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen  Binomialverteilung Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass bei n-maliger Wie-derholung eines so genannten Bernoulli-Experiments das Ereignis A genau k-mal ein-tritt. Ein Bernoulli-Experiment ist dadurch gekennzeichnet, dass genau 2 Ereignisse A und B mit Wahrscheinlichkeit p bzw. 1-p auftreten, diese Wahrscheinlichkeiten sich bei den Versuchswiederholungen nicht verändern und die einzelnen Versuche unab-hängig voneinander sind. Ein Beispiel für das Auftreten dieser Wahrscheinlichkeits-verteilung ist das mehrmalige Werfen einer Münze. Ein Spezialfall der Binomialverteilung ist die „digitale Verteilung“. Hier bestehen die zwei möglichen Ereignisse aus den Werten Null und Eins. In Praxis erfolgt hier oft die Beschreibung eines Risikos durch „Schadenshöhe“ und „Eintrittswahrscheinlichkeit“ (innerhalb einer vorgegebenen Periode).  Normalverteilung Die Normalverteilung kommt in der Praxis häufig vor. Dies ergibt sich aus dem so ge-nannten zentralen Grenzwertsatz. Dieser besagt, dass eine Zufallsvariable annähernd normalverteilt ist, wenn diese Zufallsvariable als Summe einer großen Anzahl vonei-nander unabhängiger, kleiner „Einzelrisiken“ aufgefasst werden kann. Hat ein Unter-nehmen beispielsweise eine Vielzahl von etwa gleich bedeutenden Kunden, deren Kaufverhalten nicht voneinander abhängig sind, kann man annehmen, dass Abwei-chungen vom geplanten Umsatz annähernd normalverteilt sein werden. Es ist in einem solchen Fall also unnötig, jeden Kunden einzeln zu betrachten, sondern es kann der Gesamtumsatz analysiert werden. Die Normalverteilung wird beschrieben durch Er-wartungswert , der anzeigt, was „im Mittel“ passiert, und Standardabweichung als Maß für die „übliche“ Streuung um den Erwartungswert.  Dreiecksverteilung Die Dreiecksverteilung erlaubt – auch für Anwender ohne tiefgehende statistische Vorkenntnisse – eine intuitiv einfache quantitative Beschreibung des Risikos einer Plan-Variablen, wie z. B. einer Kostenposition. Es müssen lediglich drei Werte für die risikobehaftetete Variable angegeben werden: der Minimalwert a, der wahrscheinlichs-te Wert b und der Maximalwert c. Dies bedeutet, dass von einem Anwender keine Ab-schätzung einer Wahrscheinlichkeit gefordert wird. Dies geschieht implizit durch die angegebenen drei Werte und die Art der Verteilung. Die Beschreibung eines Risikos mit diesen drei Werten ähnelt der in der Praxis gebräuchlichen Art der Szenariotechnik, wobei jedoch hier die Wahrscheinlichkeitsdichte für alle möglichen Werte zwischen dem Minimum und dem Maximum berechnet wird. Die folgende Ab-bildung zeigt eine Dreiecksverteilung am Beispiel des Ausfalls von Schlüsselpersonen.